Аналитическая геометрия

Опубликовано: 22.05.2017

&nbsp

Для прямой на плоскости мы приведем несколько уравнений. В зависимости от задачи удобнее использовать то или иное уравнение и довольно часто требуется перейти от уравнения прямой в одной форме к уравнению, описывающему прямую в другой форме.

Для того, чтобы фиксировать прямую на плоскости, достаточно указать точку, через которую она проходит (точку $M_0$) и направление - направляющий вектор $\textbf {a}$, лежащий на плоскости. Соединяя с точкой $O$ точку $M_0$ и текущую точку прямой $M$, получаем пару векторов $ \textbf {r}_0$, $ \textbf {r}$, см. рис. 3. Тогда вектор $\textbf {r} - \textbf {r}_0$ лишь длиной отличается от вектора $\textbf {a}$. Записывая этот факт, получаем векторное уравнение прямой: \begin{equation} \textbf {r} - \textbf {r}_0=t\cdot \textbf {a}. (13) \label{pryam1} \end{equation} Здесь число $t$ имеет смысл коэффициента пропорциональности между векторами $\textbf {r} - \textbf {r}_0$ и $\textbf {a}$. Когда точка $M$ пробегает прямую, параметр $t$ пробегает значения от $-\infty$ до $+\infty$.

Аналитическая геометрия (векторная алгебра). Теория

&nbsp

Рис 3: Прямая определяется точкой, через которую она проходит, и направляющим вектором.

&nbsp

Если $(a_1,\,a_2)$ - координаты вектора $\textbf {a}$, $(x,y)$ - координаты вектора $\textbf {r} $, $(x_0,y_0)$ - координаты вектора $\textbf {r}_0 $, то уравнение (13) можно записать покоординатно, \begin{equation} x=x_0+a_1t, \quad y=y_0+a_2t. (14) \label{pryam2} \end{equation} Эту пару уравнений называют параметрическим представлением прямой на плоскости. Исключая параметр $t$ из этой пары уравнений, получим: \begin{equation} y-y_0=k(x-x_0), \quad k=a_2/a_1. (15) \label{pryam3} \end{equation} Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку. Его можно переписать в виде: \begin{equation} y=kx+b, \quad b=y_0-kx_0. (16) \label{pryam4} \end{equation} Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл $k$ устанавливается, если продифференцировать функцию $y(x)$ по $x$ - $k=tg \alpha$, где $\alpha $ - угол между прямой и положительным направлением оси $x$. Величина $b$ определяет величину отрезка, отсекаемого прямой на оси $y$, см. рис. 4.